Question

如圖，某污水處理廠要在一正方形污水處理池ABCD內(nèi)修建一個(gè)三角形隔離區(qū)以投放凈化物質(zhì)，其形狀為三角形APQ，其中P位于邊CB上，Q位于邊CD上．已知AB=20米，∠PAQ=

π

6

，設(shè)∠PAB=θ，記f（θ）=

正方形ABCD面積

APAQ面積

，當(dāng)f（θ）越大，則污水凈化效果越好．
（1）求f（θ）關(guān)于的函數(shù)解析式，并求定義域；
（2）求f（θ）最大值，并指出等號成立條件？

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：綜合題,解三角形

分析：（1）首先求出θ的范圍，然后分別表示出AP，AQ，和三角形APQ的面積，進(jìn)而獲得f（θ）的解析式．
（2）對函數(shù)解析式利用兩角和公式進(jìn)行化簡整理，利用θ的范圍和三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大值．

解答： 解：（1）∵0＜θ＜

π

4

，0＜

π

3

-θ＜

π

4

，
∴

π

12

＜θ＜

π

4

，
如圖AP=

20

cosθ

，AQ=

20

cos( π 3 -θ)

，S△APQ=

1

2

AP•AQsin

π

6

=

100

cosθ•cos( π 3 -θ)

，
∴f(θ)=

400

100 cosθ•cos( π 3 -θ)

=4cosθ•cos(

π

3

-θ)，θ∈[

π

12

，

π

4

]
（2）f(θ)=2cos2θ+2

3

sinθcosθ=cos2θ+

3

sin2θ+1=2sin(2θ+

π

6

)+1，
∵θ∈[

π

12

，

π

4

]
∴

π

3

＜2θ+

π

6

＜

2

3

π，
∴當(dāng)2θ+

π

6

=

π

2

時(shí)，即θ=

π

6

時(shí)，f（θ）_max=3，
答：當(dāng)θ=

π

6

時(shí)，f（θ）的最大值為3．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用．考查了學(xué)生運(yùn)用三角函數(shù)基礎(chǔ)知識解決實(shí)際問題的能力．