Question

已知非負(fù)實數(shù)x，y滿足x≠y，且

x2+ y2

x+y

≤4，則S=y-2x的最小值是

-2-2

10

．

Answer 1

分析：將已知不等式化為（x-2）²+（y-2）²≤8，結(jié)合圓的方程，得出不等式表示的平面區(qū)域，再結(jié)合線性規(guī)劃問題解決．要注意分清何時取得最小值．

解答：解：由已知，將不等式

x2+ y2

x+y

≤4，化為x²+y²≤4（x+y），移向配方得（x-2）²+（y-2）²≤8，表示以C（2，2）為圓心，以2

2

為半徑的圓及其內(nèi)部在第一象限的部分（除去y=x），將S=y-2x變形為y=2x+S，當(dāng)直線l：y=2x+S與圓相切于第一象限時，S取得最小值，由圓的切線性質(zhì)，圓心C（2，2）到l的距離等于半徑長．
即

|2+S|

5

= 2

2

，解得S=-2-2

10

，（S=-2+2

10

舍去），
 
故答案為：-2-2

10

，

點評：本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，線性規(guī)劃問題，將不等式轉(zhuǎn)化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式是關(guān)鍵．易錯之處是將A（4，0）作為最小值點．