某校從高一年級(jí)期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生,將其成績(jī)(均為整數(shù))分成六段
[40,50),[50,60),…[90,100],其頻率分布直方圖如圖所示:
(Ⅰ)求第三小組的頻率,并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖;
(Ⅱ)估計(jì)這次考試的平均分;
(Ⅲ) 假設(shè)在[90,100]段的學(xué)生的成績(jī)都不相同,且都在94分以上,現(xiàn)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法,從95,96,97,98,99,100這6個(gè)數(shù)中任取2個(gè)數(shù),求這2個(gè)數(shù)恰好是兩個(gè)學(xué)生的成績(jī)的概率.
分析:(I)由已知中頻率直方圖,我們根據(jù)各組的頻率和為1,求出殘缺組的頻率,乘以組距后,即可得到該組的矩形高度,進(jìn)而補(bǔ)充圖形;
(II)累加各組組中值與頻率的乘積,即可估計(jì)這次考試的平均分;
(Ⅲ) 用列舉法我們可以得到從95,96,97,98,99,100這6個(gè)數(shù)中任取2個(gè)數(shù)的基本事件數(shù),如果這2數(shù)恰好是兩個(gè)學(xué)生的成績(jī),則這2學(xué)生在[99,100]段,而[99,100]的人數(shù)是3人,我們可以列舉出滿足條件的基本事件個(gè)數(shù),代入古典概型概率計(jì)算公式,即可得到答案.
解答:解:(Ⅰ)第三小組的頻率:
1-(0.005+0.015+0.030+0.025+0.005)×10=0.2….(2分)
頻率分布直方圖如圖所示:
….(4分)

(Ⅱ)利用組中值估算抽樣學(xué)生的平均分:
.
x
=45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72.
估計(jì)這次考試的平均分是72分….(9分)
(ⅡI)從95,96,97,98,99,100中抽取2個(gè)數(shù)全部可能的基本結(jié)果有:
(95,96),(95,97),(95,98),(95,99),(95,100),
(96,97),(96,98),(96,99),(96,100)
(97,98),(97,99),(97,100)
(98,99),(98,100)
(99,100)共15個(gè)基本結(jié)果.….(11分)
如果這2數(shù)恰好是兩個(gè)學(xué)生的成績(jī),則這2學(xué)生在[99,100]段,而[99,100]的人數(shù)是3人,不妨設(shè)這3人的成績(jī)是95,96,97.
則事件A:“2個(gè)數(shù)恰好是兩個(gè)學(xué)生的成績(jī)”包括的基本結(jié)果有:(95,96),(95,97),(96,97),.
共有3個(gè)基本結(jié)果.….(13分)
所以所求的概率為P(A)=
3
15
=
1
5
.….(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是頻率分布直方圖,用樣本的數(shù)學(xué)特征估計(jì)總體的數(shù)字特征,列舉法計(jì)算基本事件及事件發(fā)生的概率,其中(I)的關(guān)鍵是據(jù)各組的頻率和為1,求出殘缺組的頻率,(II)的關(guān)鍵是掌握由頻率分布直方圖求平均數(shù)的方法,(III)的關(guān)鍵是確定基本事件總個(gè)數(shù)及滿足條件的基本事件總數(shù).
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