【題目】已知函數(shù),其中

(1)當(dāng)時(shí),求的最大值和最小值;

(2)當(dāng)時(shí),證明:上有且僅有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)(分別記為),且為定值.

【答案】(1)的最大值為,最小值為.(2)見解析

【解析】

1)當(dāng)時(shí),根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究當(dāng)時(shí)函數(shù)的單調(diào)性,由此求得函數(shù)在上的單調(diào)性,進(jìn)而求得最大值和最小值.(2)①將寫成分段函數(shù)的形式,當(dāng)利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn),當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,沒有極值點(diǎn).由此證得結(jié)論成立. ②根據(jù)①的結(jié)論,寫出關(guān)于極值點(diǎn)的韋達(dá)定理,計(jì)算出為定值.

(1)當(dāng)時(shí),是奇函數(shù),

考慮,,

求導(dǎo)得,

當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),

所以單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,

又根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性,

可知單調(diào)遞減,單調(diào)遞增

,,

所以的最大值為,最小值為.

(2)①當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),,,

所以有2個(gè)根,

其中,則單調(diào)遞增,在

單調(diào)遞增,

所以單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增

所以上有且僅有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)

②因?yàn)?/span>是方程的兩個(gè)根,

所以,

所以為定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】有一名高二學(xué)生盼望2020年進(jìn)入某名牌大學(xué)學(xué)習(xí),假設(shè)該名牌大學(xué)有以下條件之一均可錄。孩2020年2月通過考試進(jìn)入國家數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì)(集訓(xùn)隊(duì)從2019年10月省數(shù)學(xué)競(jìng)賽一等獎(jiǎng)中選拔):②2020年3月自主招生考試通過并且達(dá)到2020年6月高考重點(diǎn)分?jǐn)?shù)線,③2020年6月高考達(dá)到該校錄取分?jǐn)?shù)線(該校錄取分?jǐn)?shù)線高于重點(diǎn)線),該學(xué)生具備參加省數(shù)學(xué)競(jìng)賽、自主招生和高考的資格且估計(jì)自己通過各種考試的概率如下表

省數(shù)學(xué)競(jìng)賽一等獎(jiǎng)

自主招生通過

高考達(dá)重點(diǎn)線

高考達(dá)該校分?jǐn)?shù)線

0.5

0.6

0.9

0.7

若該學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽獲省一等獎(jiǎng),則該學(xué)生估計(jì)進(jìn)入國家集訓(xùn)隊(duì)的概率是0.2.若進(jìn)入國家集訓(xùn)隊(duì),則提前錄取,若未被錄取,則再按②、③順序依次錄。呵懊嬉呀(jīng)被錄取后,不得參加后面的考試或錄取.(注:自主招生考試通過且高考達(dá)重點(diǎn)線才能錄。

(Ⅰ)求該學(xué)生參加自主招生考試的概率;

(Ⅱ)求該學(xué)生參加考試的次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望;

(Ⅲ)求該學(xué)生被該校錄取的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面底面ABCD,,底面ABCD是直角梯形,

1)求證:平面PBD

2)設(shè)E為側(cè)棱PC上異于端點(diǎn)的一點(diǎn),,試確定的值,使得二面角E-BD-P的余弦值為

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.

(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程;

(2)設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,直線與曲線的交點(diǎn)為,求的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖甲,在直角梯形中,ABCD,ABBCCD=2AB=2BC=4,過A點(diǎn)作AECD,垂足為E,現(xiàn)將ΔADE沿AE折疊,使得DEEC.AD的中點(diǎn)F,連接BFCF,EF,如圖乙。

(1)求證:BC⊥平面DEC;

(2)求二面角C-BF-E的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】給出三個(gè)命題:①直線上有兩點(diǎn)到平面的距離相等,則直線平行平面;②夾在兩平行平面間的異面直線段的中點(diǎn)的連線平行于這個(gè)平面;③過空間一點(diǎn)必有唯一的平面與兩異面直線平行.正確的是( )

A. ②③B. ①②C. ①②③D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)當(dāng)時(shí),證明函數(shù)是增函數(shù);

2)是否存在實(shí)數(shù),使得只有唯一的正數(shù),當(dāng)時(shí)恒有:,若這樣的實(shí)數(shù)存在,試求、的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】給出以下結(jié)論:

①命題“若,則”的逆否命題為“若,則”;

②“”是“”的充分條件;

③命題“若,則方程有實(shí)根”的逆命題為真命題;

④命題“若,則”的否命題是真命題.

則其中錯(cuò)誤的是__________.(填序號(hào))

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為正方形,平面ABCD,,.

1)求證:平面PAD;

2)求PD與平面PCE所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案