Question

3．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx，其導函數(shù)為f′（x）的部分值如表所示：

x	-2	0	1	3	8
f′（x）	-10	6	8	0	-90

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，回答下列問題：
（Ⅰ）實數(shù)c的值為6；當x=3時，f（x）取得極大值（將答案填寫在橫線上）．
（Ⅱ）求實數(shù)a，b的值．
（Ⅲ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由極值的定義，通過表格可求解；
（Ⅱ）在表格中取兩組數(shù)據(jù)代入解析式即可；
（Ⅲ）利用導數(shù)求出f（x）的單調(diào)區(qū)間

解答 解：（Ⅰ）6，3
（Ⅱ）：f'（x）=3ax²+2bx+c，
由已知表格可得$\left\{{\begin{array}{l}{f'（1）=8}\\{f'（3）=0}\end{array}}\right.$解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=2}\end{array}}\right.$
（Ⅲ）：由（Ⅱ）可得f'（x）=-2x²+4x+6=-2（x-3）（x+1），
因為x∈（-∞，-1）和x∈（3，+∞）時f'（x）＜0，x∈（-1，3）時f'（x）＞0，
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-1，3），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-1）和（3，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的定義及利用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題．