Question

已知函數f（x）=

4

x

+x．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性，并證明；
（2）用函數單調性的定義證明：f（x）在區(qū)間（0，2）上是減函數．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數單調性的判斷與證明

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）函數f（x）是奇函數．運用定義，求出定義域，再計算f（-x），與f（x）比較，即可得到奇偶性；
（2）運用單調性的定義證明，注意取值、作差、變形、定符號、下結論幾個步驟．

解答： 解：（1）函數f（x）是奇函數．　                    
證明：定義域為{x|x≠0}關于原點對稱，
且f（-x）=-x-

4

x

=-（x+

4

x

）=-f（x），
則f（-x）=-f（x），
故f（x）是奇函數；                            
（2）證明：設m，n是（0，2）上的兩個任意實數，且m＜n，
f （n）-f （m）=

4

n

+n-（

4

m

+m）                          
=

(n-m)(mn-4)

mn

，由于m，n∈（0，2）且m＜n，則n-m＞0，mn-4＜0                         
則f（n）-f（m）＜0，
則f（x）在區(qū)間（0，2）上是減函數．

點評：本題考查函數的奇偶性的判斷，考查函數的單調性的證明，注意運用定義，屬于基礎題．