Question

如圖2-4-19,已知C點(diǎn)在⊙O直徑BE的延長線上,CA切⊙O于A點(diǎn),∠BAC的平分線交AE于F點(diǎn),∠BCA的平分線交AB于D點(diǎn).

圖2-4-19

(1)求∠ADF的度數(shù).

(2)若∠ACB的度數(shù)為y度,∠B的度數(shù)為x度,那么y與x之間有怎樣的關(guān)系？試寫出你的猜測并給出證明.

(3)若AB =AC,求AC∶BC.

Answer 1

思路分析:（1）中由AC為⊙O切線可得∠B =∠EAC,由CD平分∠ACB可得∠ACD =∠DCB,根據(jù)三角形外角定理,得到∠ADF =∠AFD,建立等腰三角形,再由頂角求底角;（2）中則利用三角形內(nèi)角和定理得到方程,獲得關(guān)系;（3）中求線段的比值,利用△ACE∽△ABC可得.

解:（1）∵AC為⊙O的切線,?

∴∠B =∠EAC.?

∵CD平分∠ACB,?

∴∠ACD =∠DCB.?

∴∠B +∠DCB=∠EAC+∠ACD,即∠ADF =∠AFD.?

∵BE為⊙O的直徑,?

∴∠DAE =90°.?

∴∠ADF = (180°-∠DAE )=45°.?

（2）∵∠B =∠EAC,∠B +∠BAC+∠ACB =180°,?

∴x+90+x+y =180.?

∴y =90-2x.?

∵0＜∠B＜∠ADC,?

∴0＜x ＜45.?

∴y與x的函數(shù)關(guān)系式是y =90-2x,其中x的取值范圍是0＜x＜45.?

（3）∵∠B =∠EAC,∠ACB =∠ACB,?

∴△ACE∽△BCA.?

∴=.?

∵AB =AC,?

∴∠B =∠ACB,即x =y.?

又∵y =90-2x,∴x =90-2x,x =30.?

∴在Rt△ABE中, = =tan∠ABE =tan30°=.