Question

已知空間四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD，點(diǎn)E、F、G、H、M、N分別是AB、BC、CD、DA、AC、BD的中點(diǎn)．求證：三線段EG、FH、MN交于一點(diǎn)且被該點(diǎn)平分．

Answer 1

證明：如圖所示，
連接EF、FG、GH、HE．
∵E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，
∴EF∥AC，HG∥AC，
∴EF∥HG，同理，EH∥FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．
設(shè)EG∩FH=O，
則O平分EG、FH．
同理，四邊形MFNH是平行四邊形，
設(shè)MN∩FH=O′，則O′平分MN、FH．
∵點(diǎn)O、O′都平分線段FH，
∴點(diǎn)O與點(diǎn)O′重合，
∴MN過(guò)EG和FH的交點(diǎn)，即三線段EG、FH、MN交于一點(diǎn)且被該點(diǎn)平分．
分析：此題由中點(diǎn)很容易得到四邊形EFGH與四邊形MFNH為平行四邊形，EG、FH、MN為它們的對(duì)角線，且FH為公用的對(duì)角線，所以EG、FH、MN交于它們的中點(diǎn)，即被該點(diǎn)平分．
點(diǎn)評(píng)：此題也可以從平面角度觀察入手，在結(jié)合四邊形的形狀定位交點(diǎn)．根據(jù)平面性質(zhì)的公理2可以知道：FH平面EFGH與平面MFNH的交線，而EG、MN分別在這兩個(gè)平面內(nèi)，所以它們的交點(diǎn)必在交線上．在通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH與四邊形MFNH為平行四邊形，進(jìn)一步可知，平分點(diǎn)即為中點(diǎn)．