Question

已知為公差不為零的等差數(shù)列，首項(xiàng)，的部分項(xiàng)、、 、恰為等比數(shù)列，且，，.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（用表示）；

（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為, 求證：（是正整數(shù)

 

Answer 1

【答案】

（1） （2）見解析

【解析】

試題分析：

（1）由題得a1,a5,a17是成等比數(shù)列的，所以，則可以利用公差d和首項(xiàng)a來表示，進(jìn)而得到d的值，得到an的通項(xiàng)公式.

（2）利用第一問可以求的等比數(shù)列、、 、中的前三項(xiàng)，得到該等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到的通項(xiàng)公式，再利用分組求和法可得到Sn的表達(dá)式，可以發(fā)現(xiàn)為不可求和數(shù)列，所以需要把放縮成為可求和數(shù)列，考慮利用的二項(xiàng)式定理放縮證明，即，故求和即可證明原不等式.

試題解析：

（1）設(shè)數(shù)列的公差為，

由已知得，，成等比數(shù)列，

∴ ，且 2分

得或

∵ 已知為公差不為零

∴， 3分

∴. 4分

（2）由（1）知 ∴ 5分

而等比數(shù)列的公比.

∴ 6分

因此，

∵

∴ 7分

∴ 9分

∵當(dāng)時(shí)，

∴（或用數(shù)學(xué)歸納法證明此不等式）

∴ 11分

∴當(dāng)時(shí)，，不等式成立；

當(dāng)時(shí)，

綜上得不等式成立. 14分

法二∵當(dāng)時(shí)，

∴（或用數(shù)學(xué)歸納法證明此不等式）

∴ 11分

∴當(dāng)時(shí)，，不等式成立；

當(dāng)時(shí)，，不等式成立；

當(dāng)時(shí)，

綜上得不等式成立. 14分

(法三)　利用二項(xiàng)式定理或數(shù)學(xué)歸納法可得：

所以，時(shí)，，

時(shí)，　綜上得不等式成立.

考點(diǎn)：放縮法 等差數(shù)列 等比數(shù)學(xué) 二項(xiàng)式定理 不等式