（本小題滿分12分）已知過點的直線與橢圓交于不同的兩點、，點是弦的中點．
（Ⅰ）若，求點的軌跡方程；
（Ⅱ）求的取值范圍．
（Ⅰ）點的軌跡方程為（．（Ⅱ）．
本試題主要是考查了圓錐曲線中軌跡方程的求解，以及直線與圓錐曲線的位置關系的綜合而運用，研究線段的比值問題。
（1）根據(jù)題意點的直線與橢圓交于不同的兩點、，點是弦的中點，且，設點的坐標，利用直線與橢圓相交得到A,B點坐標關系式，從而的得到軌跡方程
（2）利用直線方程與曲線方程聯(lián)立，得到弦長公式，表示出線段比值。
解（Ⅰ）①若直線∥軸，則點為； ②設直線，并設點的坐標分別是
，由消去，得 ， ①
由直線與橢圓有兩個不同的交點，可得，即，所以．
由及方程①，得，
，
即由于（否則，直線與橢圓無公共點），將上方程組兩式相除得，，
代入到方程，得，整理，得（．
綜上所述，點的軌跡方程為（．
（Ⅱ）①當∥軸時，分別是橢圓長軸的兩個端點，則點在原點處，所以，，所以，； ②由方程①，得
所以，，
，
所以． 因為，所以，所以，
所以．綜上所述，．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓：，a，b為常數(shù))，動圓，。點分別為的左，右頂點，與相交于A，B，C，D四點。
(1)求直線與直線交點M的軌跡方程;
(2)設動圓與相交于四點，其中，。若矩形與矩形的面積相等，證明：為定值。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為（  ）
A．-2B．2 C．-4D．4

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分14分）
在平面直角坐標系內(nèi)已知兩點A(-1,0)、B(1,0),若將動點P(x,y)的橫坐標保持不變，縱坐標擴大到原來的倍后得到點Q(x,y),且滿足·="1."
(1)求動點P所在曲線C的方程；
(2)過點B作斜率為-的直線L交曲線C于M、N兩點，且++=，試求△MNH的面積.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

設分別為橢圓的左、右頂點，若在橢圓上存在異于的點，使得，其中為坐標原點，則橢圓的離心率的取值范圍是
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知兩點，，曲線上的動點滿足，直線與曲線交于另一點．
（Ⅰ）求曲線的方程；
（Ⅱ）設，若，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分14分）
已知橢圓的離心率為，點， 為上兩點，斜率為的直線與橢圓交于點，（，在直線兩側(cè)）．

（I）求四邊形面積的最大值；
（II）設直線，的斜率為，試判斷是否為定值．若是，求出這個定值；若不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

．（本題滿分14分）
已知圓M：定點，點為圓上的動點，點在上，點在上，且滿足。
(Ⅰ) 求點G的軌跡C的方程；
(Ⅱ) 過點（2,0）作直線l，與曲線C交于A，B兩點，O是坐標原點，設，是否存在這樣的直線l，使四邊形OASB的對角線相等（即｜OS｜＝｜AB｜）？若存在，求出直線l的方程；若不存在，試說明理由。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如果函數(shù)y＝｜x｜－1的圖象與方程的曲線恰好有兩個不同的公共點，則實數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．

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