Question

設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镈_n，記D_n內(nèi) 的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為a_n(n∈N^*)(整點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))．

(1) 求證：數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n＝3n(n∈N^*)．

(2) 記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且T_n＝．若對(duì)于一切的正整數(shù)n，總有T_n≤m，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(1)詳見試題解析；(2)．

【解析】

試題分析：(1)首先由已知，得，，或，內(nèi)的整點(diǎn)在直線和上．記直線為，與直線和的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為，則可求得的值，最后可得的表達(dá)式；(2)由(1)先求出及的表達(dá)式，由已知對(duì)一切的正整數(shù)，恒成立，等價(jià)于，可以利用數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的差，解，得到數(shù)列的最大項(xiàng)，從而可得實(shí)數(shù)的取值范圍．

試題解析：(1)證明：由，得，，或，內(nèi)的整點(diǎn)在直線和上．記直線為，與直線和的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為，則，．

(2)，，，∴當(dāng)時(shí)，，且，于是，是數(shù)列中的最大項(xiàng)，故．

考點(diǎn)：1．線性規(guī)劃整點(diǎn)問題；2．?dāng)?shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和的求法；3．恒成立不等式中的參數(shù)取值范圍問題．