Question

橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，兩焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂之間的距離為2

3

，橢圓上第一象限內(nèi)的點(diǎn)P滿足PF₁⊥PF₂，且△PF₁F₂的面積為1．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若橢圓C的右頂點(diǎn)為A，直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且滿足AM⊥AN．求證：直線l過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）根據(jù)題意可得出：|PF₁|=2+

2

，|PF₂|=2-

2

，2a=|PF₁|-|PF₂|=4，a²=b²+c²，求解方程即可．
（2）聯(lián)立方程組

x2 4 +y2=1 y=kx+m

，（1+4k²）x²+8km+4m²-4=0，得到5m²+16km+12k²=0，5m-=6k，m=-2k，代入求解即可得出定點(diǎn)．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∵兩焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂之間的距離為2

3

，橢圓上第一象限內(nèi)的點(diǎn)P滿足PF₁⊥PF₂，且△PF₁F₂的面積為1．
∴|PF₁|²+|PF₂|²=12，|PF₁|•|PF₂|=2，
∴|PF₁|+|PF₂|=4，
求解得出：|PF₁|=2+

2

，|PF₂|=2-

2

，
∴2a=|PF₁|-|PF₂|=4，a²=b²+c²，
即a=2，c=

3

，b=1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：

x2

4

+

y2

1

=1，
（2）∵

x2 4 +y2=1 y=kx+m

，M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），A（2，0），
∴（1+4k²）x²+8km+4m²-4=0，
x₁+x₂=-

8km

1+4k2

，x₁x₂=

4m2-4

1+4k2

，△=（8km）²-4（1+4k²）（4m²-4）＞0，
即4k²＞m²-1
∴（k²+1）x₁x₂+（mk-2）（x₁+x₂）+m²+4=0，
5m²+16km+12k²=0，
5m-=6k，m=-2k，
當(dāng)5m-=6k時(shí)，y=kx+m=-

6

5

mx+m=m（-

6

5

x+1）（k≠0）直線l過定點(diǎn)定點(diǎn)（

5

6

，0）
當(dāng)m=-2k時(shí)，y=kx-2k=k（x-2），直線l過定點(diǎn)定點(diǎn)（2，0）
∵右頂點(diǎn)為A（2，0）∴直線l過定點(diǎn)定點(diǎn)（2，0）不符合題意，
∴根據(jù)以上可得：直線l過定點(diǎn)定點(diǎn)（

5

6

，0）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理整體求解，屬于難題．