Question

已知0＜x＜

π

2

＜y＜π，cos（y-x）=

5

13

．若tan

x

2

=

1

2

，分別求：
（1）sin

x

2

和cos

x

2

的值；
（2）cosx及cosy的值．

Answer 1

分析：（1）利用半角的正切函數(shù)公式求出tanx，然后根據(jù)切化弦得到cosx，再根據(jù)兩角和的余弦函數(shù)公式得到cos

x

2

，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sin

x

2

即可；
（2）由cos（y-x）根據(jù)y-x的范圍及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sin（y-x）即可得到tan（y-x），因?yàn)閠anx=

4

3

，可得tany的值，然后利用弦切互化公式求出cosy即可．

解答：解：（1）由tanx=

2tan x 2

1-tan2 x 2

=

2× 1 2

1-( 1 2 )2

=

4

3

且x為銳角，
所以cosx=

1

1+tan2 x

=

3

5

，
因?yàn)閏osx=2cos2

x

2

-1=

3

5

，
解得cos

x

2

=

2 5

5

，
而tan

x

2

=

sin x 2

cos x 2

=

1

2

，
所以sin

x

2

=

1

2

cosx=

5

5

；
（2）由題知0＜y-x＜π，而cos（y-x）=

5

13

得到y(tǒng)-x為銳角，
所以sin（y-x）=

1-( 5 13 )2

=

12

13

，則tan（y-x）=

tany-tanx

1-tanytanx

=

12

5

．
由tanx=

4

3

，所以tany=

8

9

．則cosx=

3

5

，
因?yàn)閥為鈍角，所以cosy=-

1

1+tan2y

=-

81 145

145

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用弦切互化公式、同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值，做題時(shí)學(xué)生應(yīng)注意角度的范圍．