Question

（本小題滿分12分）三棱錐被平行于底面的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為，，平面，，，為中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的大小．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）同解析（Ⅱ）二面角為.

【解析】解法一：

（Ⅰ）∵ ，

∴ .

        在RT中，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，

        ∴ BC⊥AD，又

        ∴ ，

        ∴ .

（Ⅱ）如圖，作AE⊥交于E點(diǎn)，連接BE，

    由已知得AB⊥平面，

    ∴ AE是BE在平面內(nèi)的射影，

    由三垂線定理知,

    ∴ ∠AEB是二面角的平面角.

    過(guò)，

    則  CF=AC-AF=1，

    ∴ .

    在RT

    在RT

    ∴ ，即二面角為.

解法二：

（Ⅰ）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0) ，B(2,0,0) ，C(0,2,0)

, ∵ D為BC的中點(diǎn)，∴ D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1，0）.

∴

∵

∴ BC⊥AD，

∴ ,

∴

（Ⅱ）∵ BA⊥平面,

    如圖，可取為平面的法向量,

    設(shè)平面的法向量為

    如圖，可取m=1，則

   

    ∴ 二面角