Question

若一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在雙曲線C上，且其一邊經(jīng)過(guò)C的焦點(diǎn)，則雙曲線C的離心率是______．

Answer 1

∵正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1上，其一邊經(jīng)過(guò)C的焦點(diǎn)，則有
a²+b²=c²，且（c，c）是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上的點(diǎn)，
所以

c2

a2

-

c2

b2

=1
消去b²得c⁴-3a²•c²+a⁴=0，
∴

c2

a2

=

3± 5

2

，由于c²＞a²，
∴

c2

a2

=

3+ 5

2

=

6+2 5

4

=(

5 +1

2

)2，
∴離心率e=

c

a

=

5 +1

2

．
故答案為：

5 +1

2

．