已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn,且Sn+
1
2
an=1

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=log3(1-Sn+1),求適合方程
1
b1b2
+
1
b2b3
+…+
1
bnbn+1
=
25
51
的n的值.
(Ⅲ)記cn=(n-2)•an,是否存在實(shí)數(shù)M,使得對(duì)一切n∈N*,cn≤M恒成立,若存在,請(qǐng)求出M的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
分析:(Ⅰ) 當(dāng)n=1時(shí),可求出a1,當(dāng)n≥2時(shí),Sn=1-
1
2
an
,Sn-1=1-
1
2
an-1
兩式相減可得an=
1
3
an-1
從而{an}是以
2
3
為首項(xiàng),
1
3
為公比的等比數(shù)列,即可求出通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)先求出bn的通項(xiàng)公式,根據(jù)
1
bnbn+1
=
1
(n+1)(n+2)
=
1
n+1
-
1
n+2
可求出
1
b1b2
+
1
b2b3
+…+
1
bnbn+1
的值,從而求出n的值;
(III)先求出cn的通項(xiàng)公式,然后根據(jù)cn+1-cn=
2n-2
3n
-
2n-4
3n-1
=
10-4n
3n
≥0得n≤
5
2
從而求出實(shí)數(shù)M,使得對(duì)一切n∈N*,cn≤M恒成立,最后求出最小值即可.
解答:解:(Ⅰ) 當(dāng)n=1時(shí),a1=S1,由S1+
1
2
a1=1
,得a1=
2
3

當(dāng)n≥2時(shí),Sn=1-
1
2
an
,Sn-1=1-
1
2
an-1
,
Sn-Sn-1=
1
2
(an-1-an)

an=
1
2
(an-1-an)

an=
1
3
an-1

∴{an}是以
2
3
為首項(xiàng),
1
3
為公比的等比數(shù)列.
an=
2
3
(
1
3
)
n-1
=2•(
1
3
)
n
.  …(6分)
(Ⅱ)1-Sn=
1
2
an=(
1
3
)
n
,bn=log3(1-Sn+1)=log3(
1
3
)
n+1
=-n-1,…(8分)
1
bnbn+1
=
1
(n+1)(n+2)
=
1
n+1
-
1
n+2

1
b1b2
+
1
b2b3
+…+
1
bnbn+1
=
1
2
-
1
n+2
=
25
51
…(10分)
解方程得n=100…(12分)
(III)解:cn=(n-2)•an=
2n-4
3n-1

由cn+1-cn=
2n-2
3n
-
2n-4
3n-1
=
10-4n
3n
≥0得n≤
5
2

∴c3>c2>c1,
當(dāng)n≥3時(shí),cn+1<cn即c3>c4>c5>…,又c3=
2
9

故存在實(shí)數(shù)M,使得對(duì)一切n∈N*,cn≤M恒成立M的最小值為
2
9
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了數(shù)列的判定,以及利用裂項(xiàng)求和法求和,同時(shí)考查了數(shù)列的函數(shù)特性,屬于中檔題.
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