Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，公差d＞0，且a₂，a₅，a₁₄分別是等比數(shù)列{b_n}的第二項、第三項、第四項．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）設數(shù)列{c_n}對任意的n∈N^*，均有an+1=

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

成立，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₃的值．

Answer 1

分析：（1）由a₂、a₅、a₁₄成等比數(shù)列，利用等比中項定義建立關于d的方程解出d=2，從而得出{b_n}的公比q=

a5

a2

=3，再利用等比數(shù)列的通項公式加以計算，即可算出數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）取n=1算出c₁=b₁a₂=3．當n≥2時，用n+1代替n代入題中的等式得到一個新的式子，再將兩式相減并化簡得到

cn

bn

=a_n+1-a_n=2，從而得出c_n=2b_n=2×3^n-1，由此利用等比數(shù)列求和公式加以計算，即可得到c₁+c₂+…+c₂₀₁₃的值．

解答：解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}中a₁=1，且a₂，a₅，a₁₄分別是等比數(shù)列{b_n}的第二、三、四項，
∴a₂a₁₄=a₅²，可得（1+d）（1+13d）=（1+4d）²，
解之得d=2或d=0（舍），
∴a₂=a₁+d=1+2=3，a₅=a₁+4d=1+4×2=9，
∵等比數(shù)列{b_n}的公比q=

a5

a2

=3，∴b₁=1，
∴b_n=b₁•q^n-1=1•3^n-1=3^n-1；
（2）當n=1時，a2=

c1

b1

，得c₁=b₁a₂=1×3=3，
當n≥2時，an+1=

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

…①，an=

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn-1

bn-1

…②，
①-②得，

cn

bn

=a_n+1-a_n=2，即c_n=2b_n=2×3^n-1（n≥2），
∴

cn+1

cn

=

2×3n

2×3n-1

=3（n≥2），得n≥2時數(shù)列{c_n}構成公比為3的等比數(shù)列．
因此，c₁+c₂+…+c₂₀₁₃=3+2×3+2×3²+…+2×3²⁰¹²
=1+2×3⁰+2×3+2×3²+…+2×3²⁰¹²=1+

2(1-32013)

1-3

=3²⁰¹³．

點評：本題給出等差、等比數(shù)列模型，求通項公式并求數(shù)列的前2013項和．著重考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、求和公式和數(shù)列求和的一般方法等知識，屬于中檔題．