Question

在平面直角坐標系xOy中，已知圓x²+y²-12x+32=0的圓心為Q，過點P（0，2）且斜率為k的直線與圓Q相交于不同的兩點A，B．
（Ⅰ）求k的取值范圍；
（Ⅱ）當

OA

•

OB

=28時，求直線l方程．
（Ⅲ）在y軸上是否存在一點C，使

CA

•

CB

是定值，若存在求C坐標并求此時的

CA

•

CB

值，若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出直線方程，代入圓方程，利用根的判別式大于0，即可求k的取值范圍；
（Ⅱ）利用韋達定理，結合向量的數(shù)量積公式，列出方程，求出直線的斜率，可得直線l方程；
（Ⅲ）設出C的坐標，利用向量的數(shù)量積公式化簡，假設

CA

•

CB

是定值，可求C的坐標及此時的

CA

•

CB

值．

解答：解：（Ⅰ）過P（0，2）且斜率為k的直線方程為y=kx+2，代入圓方程得x²+（kx+2）²-12x+32=0，…（1分）
整理得（1+k²）x²+4（k-3）x+36=0．　　　①
直線與圓交于兩個不同的點A，B等價于△=[4（k-3）²]-4×36（1+k²）=4²（-8k²-6k）＞0，
解得-

3

4

＜k＜0，即k的取值范圍為(-

3

4

，0)．         …（3分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由（Ⅰ）知x1+x2=-

4(k-3)

1+k2

，x1x2=

36

1+k2

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=(k2+1)•

36

1+k2

-2k•

4(k-3)

1+k2

+4=28…（5分）
即：36-

8k(k-3)

1+k2

-24=0，
∴4k²+24k+12=0，∴k=-3±

6

…（6分）
又-

3

4

＜k＜0，∴k=-3+

6

故所求直線l：y=(-3+

6

)x+2…（7分）
（Ⅲ）設C（0，a）則

CA • CB =(x1，y1-a)•(x2，y2-a) =x1x2+(y1-a)(y2-a) =(1+k2)x1x2+(2-a)k(x1+x2)+(2-a)2 =(1+k2)• 36 1+k2 +(2-a)k• 4(3-k) 1+k2 +(2-a)2與k無關

…（9分）
則a=2，此時

CA

•

CB

=36…（12分）
故存在點C（0，2）時，

CA

•

CB

是定值=36                  …（14分）

點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查向量的數(shù)量積公式，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．