Question

【題目】已知橢圓的離心率為，過點的橢圓的兩條切線相互垂直.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）在橢圓上是否存在這樣的點，過點引拋物線的兩條切線，切點分別為，且直線過點？若存在，指出這樣的點有幾個（不必求出點的坐標）；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)滿足條件的點有兩個.

【解析】

試題

(1) 結合橢圓的離心率可求得，則橢圓方程為.

(2)由題意首先求得切線方程的參數形式，據此可得直線的方程為，則點的軌跡方程為，原問題轉化為直線與橢圓的交點個數，即滿足條件的點有兩個.

試題解析：

（Ⅰ）由橢圓的對稱性，不妨設在軸上方的切點為，軸下方的切點為，

則，的直線方程為，

因為橢圓 的離心率為，

所以橢圓，

所以 ，則，

所以橢圓方程為.

（Ⅱ）設點，，，

由，即，得，

∴拋物線在點處的切線的方程為，

即，

∵，∴.

∵點在切線上，∴.①

同理，.②

綜合①、②得，點，的坐標都滿足方程.

∵經過，兩點的直線是唯一的，

∴直線的方程為，

∵點在直線上，∴，

∴點的軌跡方程為.

又∵點在橢圓上，又在直線上，

∴直線經過橢圓內一點，

∴直線與橢圓交于兩點.

∴滿足條件的點有兩個.