△ABC滿足
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，設(shè)M是△ABC內(nèi)的一點（不在邊界上），定義f（M）=（x，y，z），其中x，y，z分別表示△MBC，△MCA，△MAB的面積，若f（M）=（x，y，
1
2
），則xy的最大值為（　�。�
分析：由向量的數(shù)量積公式，求出|
AB
|•|
AC
|=4，由題意得，x+y=
1
2
．然后通過基本不等式求出xy的最大值，即可得答案．
解答：解：∵
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，
所以由向量的數(shù)量積公式得|
AB
|•|
AC
|•cos∠BAC=2
3
，
∴|
AB
|•|
AC
|=4，
∵S△ABC=
1
2
|
AB
|•|
AC
|•sin∠BAC=1．
由題意得，
x+y=1-
1
2
=
1
2
．
所以xy=
xy
4×
1
4
=
xy
4×(x+y)2
=
1
4(
x
y
+
y
x
+2)
≤
1
16
，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=
1
4
時，xy取得最大值
1
16
．
故選C．
點評：本題考查基本不等式的應(yīng)用和向量的數(shù)量積的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意公式的靈活運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

△ABC滿足
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，設(shè)M是△ABC內(nèi)的一點（不在邊界上），定義f（M）=（x，y，z），其中x，y，z分別表示△MBC，△MCA，△MAB的面積，若f（M）=（x，y，
1
2
），則
1
x
+
4
y
的最小值為（　�。�
A、9B、8C、18D、16

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于△ABC內(nèi)的任何一點M，為了確定M的具體位置f（M），采用如下記法：f（M）=（x，y，z），x，y，z分別表示△MBC，△MCA，△MAB的面積，現(xiàn)有△ABC滿足
AB
•
AC
=2
3
且∠A=30°，設(shè)M是△ABC內(nèi)的一點（不在邊界上），當(dāng)f(M)=(x，y，
1
2
)，那么
1
x
+
4
y
的最小值為
18
18
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖（一）等腰三角形ABC滿足AB=AC=10，BC=12，D、E、F為AB、BC、AC的中點，現(xiàn)將△ADF、△BDE、△CEF分別沿DF、DE、EF折起使得A、B、C重合為一點P，形成一個三棱錐P-DEF如圖（二），則三棱錐P-DEF的體積為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

平面直角坐標(biāo)系中，△ABC滿足
AB
=(-
3
sinθ，sinθ)，
AC
=(cosθ，sinθ)，
（Ⅰ）若BC邊長等于1，求θ的值（只需寫出（0，2π）內(nèi)的θ值）；
（Ⅱ）若θ恰好等于內(nèi)角A，求此時內(nèi)角A的大�。�

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