Question

16．已知數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，且滿足a₃•a₅=16，a₂+a₆=10．
（Ⅰ）若{a_n}是等差數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）若{a_n}是等比數(shù)列，若b_n=$\sqrt{a_n}$，求數(shù)列{b_n}的前7項(xiàng)的積T₇．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由題設(shè)知：a₂+a₆=10=a₃+a₅，a₃•a₅=16，由a₃，a₅是方程x²-10x+16=0的兩根，且a₃＜a₅，解得a₃，a₅，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出．
（II）利用等比數(shù)列的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（Ⅰ） 由題設(shè)知：a₂+a₆=10=a₃+a₅，a₃•a₅=16，
∴a₃，a₅是方程x²-10x+16=0的兩根，且a₃＜a₅，
解得a₃=2，a₅=8，
∴公差為$d=\frac{{{a_5}-{a_3}}}{2}=3$，
∴a_n=3n-7；
${S_n}=\frac{{n（{a_1}+{a_n}）}}{2}=\frac{n（-4+3n-7）}{2}=\frac{{3{n^2}-11n}}{2}$．
（Ⅱ） 由題設(shè)知：a₃•a₅=16=a₂•a₆，0＜a₂＜a₄＜a₆，
∴${a_4}=\sqrt{{a_2}{a_6}}=4$，
∴${T_7}={b_1}{b_2}{b_3}{b_4}{b_5}{b_6}{b_7}=\sqrt{{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}}=\sqrt{{a_4}^7}={2^7}=128$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式性質(zhì)及其前n項(xiàng)和公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．