Question

已知函數(shù)f（x）=，若對于任意實數(shù)x₁，x₂，x₃，均存在以f（x₁），f（x₂），f（x₃）為三邊邊長的三角形，則實數(shù)k的取值范圍是________．

Answer 1

-
分析：因對任意實數(shù)x₁、x₂、x₃，都存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）為三邊長的三角形，則f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）對任意的x₁、x₂、x₃∈R恒成立，將f（x）解析式用分離常數(shù)法變形，由均值不等式可得分母的取值范圍，整個式子的取值范圍由k-1的符號決定，故分為三類討論，根據函數(shù)的單調性求出函數(shù)的值域，然后討論k轉化為f（x₁）+f（x₂）的最小值與f（x₃）的最大值的不等式，進而求出實數(shù)k 的取值范圍．
解答：因對任意實數(shù)x₁、x₂、x₃，都存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）為三邊長的三角形，故f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）對任意的x₁、x₂、x₃∈R恒成立．
f（x）==1+，
令t=2^x++1≥3，則y=1+（t≥3），
當k-1＞0，即k＞1時，該函數(shù)在[3，+∞）上單調遞減，則y∈（1，]，
當k-1=0，即k=1時，y∈{1}，
當k-1＜0，即k＜1時，該函數(shù)在[3，+∞）上單調遞增，y∈[，1），
當k＞1時，∵2＜f（x₁）+f（x₂）≤且1＜f（x₃）≤，故 ≤2，∴1＜k≤4；
當k=1時，∵f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=1，滿足條件；
當k＜1時，∵≤f（x₁）+f（x₂）＜2，且 ≤f（x₃）＜1，故 ≥1，∴-≤k＜1；
綜上所述：-≤k≤4．
故答案為：-≤k≤4
點評：本題主要考查了求參數(shù)的取值范圍，以及構成三角形的條件和利用函數(shù)的單調性求函數(shù)的值域，同時考查了分類討論的思想，屬于難題．