Question

若正實(shí)數(shù)x，y，z滿(mǎn)足x+y+z=4，xy+yz+zx=5，則x+y的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：把x，y看成是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列出一元二次方程，然后由判別式得到z的取值范圍，求出x+y的最小值．

解答： 解：∵x+y+z=4，
∴x+y=4-z
∵xy+yz+zx=5
∴xy=5-yz-xz=5-z（x+y）=5-z（4-z）=z²-4z+5
由韋達(dá)定理知：xy是一元二次方程t²-（4-z）t+（z²-4z+5）=0的兩實(shí)根，
則判別式△=（4-z）²-4（5-4z+z²）≥0，
化簡(jiǎn)得：（z-2）（3z-2）≤0，
又x，y，z為正實(shí)數(shù)
∴

2

3

≤z≤2，
∴z的最大值是2．
x+y的最小值是4-2=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了最值問(wèn)題．解此題的關(guān)鍵是得到關(guān)于z的一元二次方程，利用判別式求解．此題難度較大，解題時(shí)要注意細(xì)心．