如圖5 ，在四棱錐P-ABCD 中，PA⊥平面ABCD ，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E 是CD 的中點(diǎn)。
（1）證明：CD⊥平面PAE ；
（2）若直線PB 與平面PAE 所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積。
解：（1）連接AC ，由AB=4 ，，，E是CD的中點(diǎn)，
所以

所以
而內(nèi)的兩條相交直線，
所以CD⊥平面PAE。
（2）過(guò)點(diǎn)B作
由（1）CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE
于是為直線PB與平面PAE所成的角，
且
由知，為直線與平面所成的角

由題意，知
因?yàn)?IMG style="WIDTH: 217px; HEIGHT: 39px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120921/201209211040152944067.png">
所以
由
所以四邊形是平行四邊形，
故
于是
在中，
所以
于是
又梯形的面積為
所以四棱錐的體積為
練習(xí)冊(cè)系列答案
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如圖：在四棱錐P-ABCD中，底面為正方形，PC與底面ABCD垂直（圖1），圖2為該四棱錐的主視圖和側(cè)視圖，它們是腰長(zhǎng)為6cm的全等的等腰直角三角形．
（1）根據(jù)圖2所給的主視圖、側(cè)視圖畫(huà)出相應(yīng)的俯視圖，并求出該俯視圖所在的平面圖形的面積．
（2）圖3中，L、E均為棱PB上的點(diǎn)，且
BE
EP
=1，
BL
LP
=5，M、N分別為棱PA、PD的中點(diǎn)，問(wèn)在底面正方形的對(duì)角線AC上是否存在一點(diǎn)F，使EF∥平面LMN．若存在，請(qǐng)具體求出CF的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
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（Ⅰ）證明：CD⊥平面PAE；
（Ⅱ）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積．

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（2009•濱州一模）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面PBC⊥底面ABCD，且
PB=PC=
5
．
（Ⅰ）求證：AB⊥CP；
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如圖5，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：CD⊥平面PAE；

（Ⅱ）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積.

 

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