Question

9．在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若C=2B，則$\frac{c}$的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• B． （$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{2}$）
• C． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
• D． （$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 根據(jù)正弦定理，結(jié)合∠C=2∠B根據(jù)二倍角公式可得$\frac{sinB}=\frac{c}{2sinBcosB}$，整理得到$\frac{c}$=$\frac{1}{2cosB}$，再求得B的范圍即可得到的取值范圍．

解答 解：由正弦定理可得：$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
∵C=2B，
∴$\frac{sinB}=\frac{c}{2sinBcosB}$，可得：$\frac{c}$=$\frac{1}{2cosB}$，
當(dāng)C為最大角時(shí)C＜90°，∴B＜45°，
當(dāng)A為最大角時(shí)A＜90°，∴B＞30°，
∴30°＜B＜45°，
∴2cos45°＜2cosB＜2cos30°，可得：$\sqrt{2}$＜2cosB$＜\sqrt{3}$
∴$\frac{c}$=$\frac{1}{2cosB}$∈（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理和二倍角公式的應(yīng)用．正弦定理和余弦定理在解三角形中應(yīng)用比較多，這兩個(gè)定理和其推論一定要熟練掌握并能夠靈活運(yùn)用．