Question

已知S_n為數列{a_n}的前n項和．S_n=n²
（1）求數列{a_n}的通項a_n；
（2）設

bn

an

是首項為1，公比為3的等比數列，求數列{b_n}的通項公式及其前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用a₁=S₁，n≥2時，a_n=s_n-s_n-1即可求解
（2）由（1）可求b_n，然后利用錯位相減求和即可求解

解答：解：（1）當n=1時，a₁=S₁=1，
當n＞1時，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，
當n=1時，滿足上式．
即數列{a_n}的通項公式a_n=2n-1．
（2）因為數列{

bn

an

}是首項為1，公比為3的等比數列，所以

bn

an

=1×3n-1，
即bn=an×3n-1=(2n-1)3n-1．
T_n=b₁+b₂+…+b_n=1×1+3×3+…+（2n-1）3^n-1，①
3Tn=1×3+3×32+…+(2n-3)3n-1+(2n-1)3n．②
兩式相減可得得：

-2Tn=1+2(3+32+…+3n-1)-(2n-1)3n=1+2× 3-3n 1-3 -(2n-1)3n =1+3n-3-(2n-1)3n=-2-(2n-2)3n，即Tn=1+(n-1)3n

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式求解數列的通項公式及數列的錯位相減求和方法的應用．