Question

9．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{e^{|x-1|}}\;\;，\;x＞0\\-{x^2}-2x+1\;，x≤0\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f²（x）-3f（x）+a=0（a∈R）有8個不等的實數(shù)根，則a的取值范圍是（　�。�

• A． $（0，\frac{1}{4}）$
• B． $（\frac{1}{3}，3）$
• C． （1，2）
• D． $（2，\frac{9}{4}）$

Answer 1

分析 畫出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的圖象，判斷f（x）的范圍，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解a的范圍．

解答 解：函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{e^{|x-1|}}\;\;，\;x＞0\\-{x^2}-2x+1\;，x≤0\end{array}\right.$，的圖象如圖：
關(guān)于x的方程f²（x）-3f（x）+a=0（a∈R）有8個不等的實數(shù)根，f（x）必須有兩個不相等的實數(shù)根，由函數(shù)f（x）圖象
可知f（x）∈（1，2）．令t=f（x），
方程f²（x）-3f（x）+a=0化為：a=-t²+3t，t∈（1，2），
a=-t²+3t，開口向下，對稱軸為：t=$\frac{3}{2}$，
可知：a的最大值為：-（$\frac{3}{2}$）²+3×$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{4}$，
a的最小值為：2．
a∈（2，$\frac{9}{4}$]．
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，函數(shù)的零點個數(shù)的判斷與應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及計算能力．