【題目】已知函數(shù)
(I)若,求函數(shù)
的極值和單調(diào)區(qū)間;
(II)若在區(qū)間上至少存在一點
,使得
成立,求實數(shù)
的取值范圍.
【答案】(I)時,
的極小值為1;單調(diào)遞增區(qū)間為
,單調(diào)遞減區(qū)間為
;(II)
.
【解析】
試題(I)首先求出導(dǎo)函數(shù),然后令導(dǎo)數(shù)等于零,解方程,從而根據(jù)定義域列表討論,求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;(II)首先根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為
在區(qū)間
上的最小值小于0即可,從而首先求出導(dǎo)函數(shù)
,然后分
、
研究函數(shù)在
上的單調(diào)性,將
的各極值與其端點的函數(shù)值比較,其中最小的一個就是最小值,進而求得
的取值范圍.
試題解析:(I)因為,
當(dāng),
.
令,得
.
又的定義域為
,
隨
的變化情況如下表:
所以時,
的極小值為1.
的單調(diào)遞增區(qū)間為
,單調(diào)遞減區(qū)間為
.
(II)因為,且
,
令,得到
.
若在區(qū)間上存在一點
,使得
成立,
其充要條件是在區(qū)間
上的最小值小于0即可.
(1)當(dāng)時,
對
成立,
所以,在區(qū)間
上單調(diào)遞減,
故在區(qū)間
上的最小值為
,
由,得
,即
(2)當(dāng)時,
①若,則
對
成立,
所以在區(qū)間
上單調(diào)遞減,
所以,在區(qū)間
上的最小值為
,
顯然,在區(qū)間
上的最小值小于0不成立
②若,即
時,則有
所以在區(qū)間
上的最小值為
,
由,
得,解得
,即
舍去;
當(dāng),即
,即有
在
遞增,
可得取得最小值,且為1,
,不成立.
綜上,由(1)(2)可知符合題意.
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【題目】已知橢圓的焦點為
和
,過
的直線交
于
,
兩點,過
作與
軸垂直的直線交直線
于點
.設(shè)
,已知當(dāng)
時,
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)求證:無論如何變化,直線
過定點.
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【題目】某校高三(1)班在一次語文測試結(jié)束后,發(fā)現(xiàn)同學(xué)們在背誦內(nèi)容方面失分較為嚴(yán)重.為了提升背誦效果,班主任倡議大家在早、晚讀時間站起來大聲誦讀,為了解同學(xué)們對站起來大聲誦讀的態(tài)度,對全班50名同學(xué)進行調(diào)查,將調(diào)查結(jié)果進行整理后制成下表:
考試分?jǐn)?shù) | ||||||
頻數(shù) | 5 | 10 | 15 | 5 | 10 | 5 |
贊成人數(shù) | 4 | 6 | 9 | 3 | 6 | 4 |
(1)欲使測試優(yōu)秀率為30%,則優(yōu)秀分?jǐn)?shù)線應(yīng)定為多少分?
(2)依據(jù)第1問的結(jié)果及樣本數(shù)據(jù)研究是否贊成站起來大聲誦讀的態(tài)度與考試成績是否優(yōu)秀的關(guān)系,列出2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為贊成與否的態(tài)度與成績是否優(yōu)秀有關(guān)系.
參考公式及數(shù)據(jù):,
.
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【題目】某地區(qū)有3個不同值班地點,每個值班地點需配一名醫(yī)務(wù)人員和兩名警察,現(xiàn)將3名醫(yī)務(wù)人員(1男2女)和6名警察(4男2女)分配到這3個地點去值班,要求每個值班地點至少有一名女性,則共有______種不同分配方案.(用具體數(shù)字作答)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】筆、墨、紙、硯是中國獨有的文書工具,即文房四寶.筆、墨、紙、硯之名,起源于南北朝時期,其中“紙”指的是宣紙,“始于唐代,產(chǎn)于涇縣”,因唐代涇縣隸屬宣州管轄,故因地得名宣紙,宣紙按質(zhì)量等級分類可分為正牌和副牌(優(yōu)等品和合格品)某公司生產(chǎn)的宣紙為純手工制作,年產(chǎn)宣紙10000刀,該公司按照某種質(zhì)量指標(biāo)x給宣紙確定質(zhì)量等級,如下表所示:
x的范圍 | |||
質(zhì)量等級 | 正牌 | 副牌 | 廢品 |
公司在所生產(chǎn)的宣紙中隨機抽取了一刀(100張)進行檢驗,得到的頻率分布直方圖如上圖所示.已知每張正牌宣紙的利潤為12元,副牌宣紙的利潤為6元,廢品宣紙的利潤為-12元.
(1)試估計該公司生產(chǎn)宣紙的利潤;
(2)該公司預(yù)備購買一種售價為100萬元的機器改進生產(chǎn)工藝,這種機器使用壽命為一年,不影響產(chǎn)量,這種機器生產(chǎn)的宣紙的質(zhì)量指標(biāo)x服從正態(tài)分布,改進工藝后正牌和副牌宣紙的利潤都將受到不同程度的影響,觀測的數(shù)據(jù)如下表所示:
x的范圍 | ||||
一張宣紙的利潤 | 12 | 8 | 8 | 3 |
頻率 | 0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.5 |
將頻率視為概率,請判斷該公司是否應(yīng)該購買這種機器,并說明理由
附:若,則
,
,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線的參數(shù)方程為
(其中
為參數(shù)),以原點為極點,以
軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
(
為常數(shù),且
),直線
與曲線
交于
兩點.
(1)若,求實數(shù)
的值;
(2)若點的直角坐標(biāo)為
,且
,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若存在兩個極值點
,且關(guān)于
的方程
恰有三個實數(shù)根
,
,
,求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).(
是自然對數(shù)的底數(shù))
(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)記,若
,試討論
在
上的零點個數(shù).(參考數(shù)據(jù):
)
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