【題目】已知函數(shù)，.

（1）若在處取得極值，求的值；

（2）設，試討論函數(shù)的單調性；

（3）當時，若存在正實數(shù)滿足，求證：.

【答案】（1）．（2）見解析（3）見解析

【解析】

（Ⅰ）由題意，求得函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)，即可求解；

（Ⅱ）由題意，得 ，求得函數(shù)的導數(shù)，分類討論，即可求解函數(shù)的單調區(qū)間；

（Ⅲ）代入，求出，令，，根據(jù)函數(shù)的單調性，即可作出證明.

（1）因為，所以，

因為在處取得極值，

所以，解得．

驗證：當時，在處取得極大值．

（2）解：因為

所以．

①若，則當時，，所以函數(shù)在上單調遞增；

當時，，函數(shù)在上單調遞減．

②若，，

當時，易得函數(shù)在和上單調遞增，

在上單調遞減；

當時，恒成立，所以函數(shù)在上單調遞增；

當時，易得函數(shù)在和上單調遞增，

在上單調遞減．

（3）證明：當時，，

因為，

所以，

即，

所以．

令，，

則，

當時，，所以函數(shù)在上單調遞減；

當時，，所以函數(shù)在上單調遞增．

所以函數(shù)在時，取得最小值，最小值為．

所以，

即，所以或．

因為為正實數(shù)，所以．

當時，，此時不存在滿足條件，

所以．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓O：與直線相切．

（1）求圓O的方程；

（2）若過點的直線l被圓O所截得的弦長為4，求直線l的方程；

（3）若過點作兩條斜率分別為，的直線交圓O于B、C兩點，且，求證：直線BC恒過定點．并求出該定點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校組織了一次新高考質量測評，在成績統(tǒng)計分析中，某班的數(shù)學成績的莖葉圖和頻率分布直方圖因故都受到不同程度的損壞，但可見部分如下，據(jù)此解答如下問題：

5

6

8

6

2

3

3

5

6

8

9

7

1

2

2

3

4

5

6

7

8

9

8

9

5

8

（1）求該班數(shù)學成績在的頻率及全班人數(shù)；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計該班這次測評的數(shù)學平均分；

（3）若規(guī)定90分及其以上為優(yōu)秀，現(xiàn)從該班分數(shù)在80分及其以上的試卷中任取2份分析學生得分情況，求在抽取的2份試卷中至少有1份優(yōu)秀的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設正項等差數(shù)列的前n項和為，已知且成等比數(shù)列

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）若，求數(shù)列的前n項和；

（3）設數(shù)列滿足求證：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，a=7，b=8，cosB= –．

（Ⅰ）求∠A；

（Ⅱ）求AC邊上的高．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知，函數(shù)．

（1）當時，求函數(shù)在上的最值；

（2）若函數(shù)在上單調遞增，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓C： （a>b>0）的離心率為，F(xiàn)為橢圓C的右焦點.A（-a，0），|AF|=3.

（I）求橢圓C的方程；

（II）設O為原點，P為橢圓上一點，AP的中點為M.直線OM與直線x=4交于點D，過O且平行于AP的直線與直線x=4交于點E.求證：∠ODF=∠OEF.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) (x>0)，設fn(x)為fn－1(x)的導數(shù)，n∈N*.

(1)求的值；

(2)證明：對任意的n∈N*，等式都成立.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某同學解答一道解析幾何題：“已知直線l：與x軸的交點為A，圓O：經(jīng)過點A．

（Ⅰ）求r的值；

（Ⅱ）若點B為圓O上一點，且直線AB垂直于直線l，求．”

該同學解答過程如下：

解答：（Ⅰ）令，即，解得，所以點A的坐標為．

因為圓O：經(jīng)過點A，所以．

（Ⅱ）因為．所以直線AB的斜率為．

所以直線AB的方程為，即．

代入消去y整理得，

解得，．當時，．所以點B的坐標為．

所以．

指出上述解答過程中的錯誤之處，并寫出正確的解答過程．

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同步練習冊答案