Question

已知函數(shù)f(x)＝ax＋ln x，其中a為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，求f(x)的最大值；
(2)當(dāng)a＝－1時(shí)，試推斷方程|f(x)|＝＋是否有實(shí)數(shù)解，并說明理由．

Answer 1

(1) －1   (2) 沒有，理由見解析

解：(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝－x＋ln x，
f′(x)＝－1＋＝.
當(dāng)0<x<1時(shí)，f′(x)>0；
當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)<0.
∴f(x)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)，在區(qū)間(1，＋∞)上是減函數(shù)．
f(x)_max＝f(1)＝－1.
(2)由(1)知當(dāng)a＝－1時(shí)，
f(x)_max＝f(1)＝－1，∴|f(x)|≥1.
令g(x)＝＋，則g′(x)＝，
令g′(x)＝0，得x＝e，
當(dāng)0<x<e時(shí)，g′(x)>0，g(x)在區(qū)間(0，e)上單調(diào)遞增；
當(dāng)x>e時(shí)，g′(x)<0，g(x)在區(qū)間(e，＋∞)上單調(diào)遞減．
∴g(x)_max＝g(e)＝＋<1，
∴g(x)<1.∴|f(x)|>g(x)恒成立，
即|f(x)|>＋恒成立．
∴方程|f(x)|＝＋沒有實(shí)數(shù)解．