Question

已知函數f（x）＝x⁴－4x³＋ax²－1在區(qū)間［0，1］上單調遞增，在區(qū)間［1，2）上單調遞減。

（1）求a的值；

（2）若點A（x_o，f（x_o））在函數f（x）的圖象上，求證：點A關于直線x＝1的對稱點B

也在函數f（x）的圖象上；

（3）是否存在實數b，使得函數g（x）＝bx²－1的圖象與函數f（x）的圖象恰有3個交點？若存在，請求出實數b的值；若不存在，試說明理由。

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）解：∵ 函數f（x）＝x4－4x3＋ax2－1在區(qū)間［0，1］上單調遞增，在區(qū)間［1，2］上單調遞減，∴ x＝1時，y＝取得極大值。∴ f′（1）＝0。 ∵ f′（x）＝4x3－12x2+2ax，∴ 4－12＋2a＝0。    ∴ a＝4。 （2）證明：點A（x0，f（x0））關于直線x＝1的對稱點B的坐標為（2－x0，f（x0））。 f（2－x0）＝（2－x0）4－4（2－x0）3＋4（2－x0）2－1 ＝（2－x0）2［（2－x0）－2］2－1 ＝x04－4x03＋4x02－1 ＝f（x0）。 ∴ 點A關于直線x＝1的對稱點B也在函數f（x）的圖象上。 （3）解：函數g（x）＝bx2－1的圖象與函數f（x）的圖象恰有3個交點，等價于方程x4－4x3＋4x2－1＝bx2－1恰有3個不等實根。 x4－4x3＋4x2－1＝bx2－1x4－4x3＋（4－b）x2＝0。 ∵ x＝0是其中一個根，∴ 方程x4－4x3＋（4－b）x2＝0有兩個非零不等實根。 ∴ b＞0且b≠4。