【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PC⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,E是PB的中點(diǎn).
(1)求證:CE∥平面PAD;
(2)若二面角P﹣AC﹣E的余弦值為 ,求直線PA與平面EAC所成角的正弦值.
【答案】
(1)證明:取線段AB的中點(diǎn)F,連接EF,CF.則AF=CD,AF∥CD,
所以四邊形ADCF是平行四邊形,
則CF∥AD;
又EF∥AP且CF∩EF=F,
∴面CFE∥面PAD,
又EC面CEF,
∴EC∥平面PAD
(2)解:如圖,以C為原點(diǎn),取AB中點(diǎn)F, 、
、
分別為x軸、y軸、z軸正向,
建立空間直角坐標(biāo)系,則C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,﹣1,0).
設(shè)P(0,0,a)(a>0),則E( ,﹣
,
),
=(1,1,0),
=(0,0,a),
=
,﹣
,
),
取 =(1,﹣1,0),則
為面PAC的法向量.
設(shè) =(x,y,z)為面EAC的法向量,則
取x=a,y=﹣a,z=﹣2,則 =(a,﹣a,﹣2),
依題意,|cos< ,
>|=
=
,則a=1.
于是 =(1,﹣1,﹣2),
=(1,1,﹣2).
設(shè)直線PA與平面EAC所成角為θ,則sinθ=|cos< >|=
=
,
即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為 .
【解析】(1)取線段AB的中點(diǎn)F,連接EF,CF,證明四邊形ADCF是平行四邊形,進(jìn)而證明面CFE∥面PAD,即可證明EC∥平面PAD;(2)根據(jù)題意,建立空間直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量,求出面PAC的法向量,面EAC的法向量,利用二面角P﹣A C﹣E的余弦值為 ,可求a的值,從而可求
,利用向量的夾角公式即可求得直線PA與平面EAC所成角的正弦值.
【考點(diǎn)精析】利用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是
上的任意兩點(diǎn),
所成的角為
,則
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)
,且離心率等于
.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓交于
兩點(diǎn),與圓
交于
兩點(diǎn).若
,試求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)是定義在[﹣1,1]上的奇函數(shù),且f(1)=1,若m,n∈[﹣1,1],m+n≠0時(shí),有 >0.
(Ⅰ)證明f(x)在[﹣1,1]上是增函數(shù);
(Ⅱ)解不等式f(x2﹣1)+f(3﹣3x)<0
(Ⅲ)若f(x)≤t2﹣2at+1對(duì)x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= (x∈R)
(1)用定義證明f(x)是增函數(shù);
(2)若g(x)=f(x)﹣a是奇函數(shù),求g(x)在(﹣∞,a]上的取值集合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x2﹣(m﹣1)x+2m
(1)若函數(shù)f(x)>0在(0,+∞)上恒成立,求m的取值范圍;
(2)若函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)有零點(diǎn),求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),
恒成立,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在
單調(diào)遞增,其中
.
(1)求的值;
(2)若,當(dāng)
時(shí),試比較
與
的大小關(guān)系(其中
是
的導(dǎo)函數(shù)),請寫出詳細(xì)的推理過程;
(3)當(dāng)時(shí),
恒成立,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在四棱錐中,四邊形
為矩形,
為等腰三角形,
,平面
平面
,且
,
,
分別為
的中點(diǎn).
(1)證明: 平面
;
(2)證明:平面平面
;
(3)求四棱錐的體積.
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