Question

設(shè)函數(shù)，且，其中p≥0，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）求p與q的關(guān)系；
（2）若f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求p的取值范圍．
（3）設(shè)．若存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意，∵函數(shù)，且，∴（p-q）（）=0
∵≠0，∴p-q=0，∴p=q
（2）由（1）知，，求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=
當(dāng)p=0時(shí)，f′（x）=-＜0，所以f（x）在其定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)
當(dāng)p＞0時(shí)，要使f（x）在其定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，由于h（x）=px²-2x+p圖象為開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，所以只需h（x）在（0，+∞）內(nèi)滿(mǎn)足h（x）≥0恒成立
函數(shù)h（x）=px²-2x+p的對(duì)稱(chēng)軸為，∴
∴只需，∵p＞0，∴p≥1
綜上所述，p的取值范圍為{0}∪[1，+∞）
（3）∵在[1，e]上是減函數(shù)，
∴x=e時(shí)，g（x）_min=2；x=1時(shí)，g（x）_max=2e，即g（x）∈[2，2e]
①當(dāng)p=0時(shí)，由（2）知f（x）在[1，e]上是減函數(shù)，∴f（x）_min=f（1）=0，不合題意；
②當(dāng)p≥1時(shí)，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，f（1）=0＜2，
又在[1，e]上是減函數(shù)，故只需f（x）_max＞g（x）_min（x∈[1，e]），
∵f（x）_max=f（e）=p（e-）-2，g（x）_min=2，
∴p（e-）-2＞2，∴；
③當(dāng)0＜p＜1時(shí)，由x∈[1，e]，≥0，
由（2）知當(dāng)p=1時(shí)，f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，≤≤2，不合題意
綜上，實(shí)數(shù)p的取值范圍是．
分析：（1）根據(jù)函數(shù)，且，可得（p-q）（）=0，從而可求p與q的關(guān)系；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，再進(jìn)行分類(lèi)討論：當(dāng)p=0時(shí)，f（x）在其定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)p＞0時(shí)，要使f（x）在其定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，只需h（x）在（0，+∞）內(nèi)滿(mǎn)足h（x）≥0恒成立，從而可求p的取值范圍；（3）確定在[1，e]上的最值，再分類(lèi)討論：①當(dāng)p=0時(shí)，f（x）_min=f（1）=0，不合題意；②當(dāng)p≥1時(shí)，只需f（x）_max＞g（x）_min（x∈[1，e]）；③當(dāng)0＜p＜1時(shí)，不合題意，從而可求實(shí)數(shù)p的取值范圍是．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查存在性問(wèn)題，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，綜合性強(qiáng)．