Question

9．已知p：方程$\frac{{x}^{2}}{9-m}$+$\frac{{y}^{2}}{2m}$=1表示焦點在x軸上的橢圓，q：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的離心率e∈（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{2}$）．
（1）若橢圓$\frac{{x}^{2}}{9-m}$+$\frac{{y}^{2}}{2m}$=1的焦點和雙曲線$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的頂點重合，求實數(shù)m的值；
（2）若“p∧q”是真命題，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由雙曲線方程可知雙曲線的焦點在x軸上，進一步可得橢圓的焦點在x軸上，求出橢圓的半焦距與雙曲線的實半軸長，列等式求得m值；
（2）由方程$\frac{{x}^{2}}{9-m}$+$\frac{{y}^{2}}{2m}$=1表示焦點在x軸上的橢圓，雙曲線$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的離心率e∈（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{2}$）分別求出m的范圍，結合“p∧q”是真命題，取交集得答案．

解答 解：（1）由雙曲線$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{m}$=1，得m＞0，且a²=5，a=$\sqrt{5}$．
∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{9-m}$+$\frac{{y}^{2}}{2m}$=1的焦點和雙曲線$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的頂點重合，
∴橢圓$\frac{{x}^{2}}{9-m}$+$\frac{{y}^{2}}{2m}$=1的焦點在x軸上，且a²=9-m，b²=2m，則$c=\sqrt{9-3m}$，
∴$\sqrt{9-3m}=\sqrt{5}$，解得m=$\frac{4}{3}$；
（2）∵方程$\frac{{x}^{2}}{9-m}$+$\frac{{y}^{2}}{2m}$=1表示焦點在x軸上的橢圓，
∴9-m＞2m＞0，即0＜m＜3，
∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的離心率e∈（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{2}$），
∴$\frac{5+m}{5}∈$（$\frac{3}{2}，2$），即$\frac{5}{2}＜m＜5$，
若“p∧q”是真命題，則$\frac{5}{2}$＜m＜3．

點評 本題考查橢圓與雙曲線的簡單性質(zhì)，考查命題的真假判斷與應用，是中檔題．