Question

22.對任意函數(shù)f(x)，xD，可按圖示構(gòu)造一個數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下：

①輸入數(shù)據(jù)x₀D，經(jīng)數(shù)列發(fā)生器輸出x₁=f(x₀);

②若x₁D，則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作；若x₁D，則將x₁反饋回輸入端，再輸出x₂=f(x₁)，并依此規(guī)律繼續(xù)下去.現(xiàn)定義f(x)=.

(1)若輸入x₀=，則由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列{x_n}，請寫出數(shù)列{x_n}的所有項(xiàng)；

(2)若要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個無窮的常數(shù)數(shù)列，試求輸入的初始數(shù)據(jù)x₀的值；

(3)是否存在x₀，在輸入數(shù)據(jù)x₀時(shí)，該數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)的無窮數(shù)列？若存在，求出x₀的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

22.

［解］(1)∵f(x)的定義域D=(－，－1)∪(－1，+)，

∴數(shù)列{x_n}只有三項(xiàng)：x₁=，x₂=，x₃=－1.                      

 

(2)∵f(x)=，即x²－3x+2=0，

∴x=1，或x=2.

 

即當(dāng)x₀=1或2時(shí)，x_n+1=.

 

故當(dāng)x₀=1時(shí)，x_n=1；當(dāng)x₀=2時(shí)，x_n=2 (nN).          

 

(3)［證法一］設(shè)x_n<0 (nN).

 

由x₁=，得－1<x₀<，