Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，A為雙曲線的左頂點，以F₁F₂為直徑的圓交雙曲線某條漸近線于M、N兩點，若∠MAN=135°，則該雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由已知條件推導(dǎo)出直線MN：y=

b

a

x，圓的方程為：x²+y²=c²，聯(lián)立

y= b a x x2+y2=c2

，解得

AM

=（2a，b），

AN

=（0，-b），由∠MAN=135°，推導(dǎo)出b=2a，由此能求出雙曲線的離心率．

解答： 解：如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，
A為雙曲線的左頂點，
以F₁F₂為直徑的圓交雙曲線某條漸近線于M、N兩點，
∴直線MN：y=

b

a

x，圓的方程為：x²+y²=c²，
聯(lián)立

y= b a x x2+y2=c2

，解得M（a，b），N（-a，-b），
∵A（-a，0），∴

AM

=（2a，b），

AN

=（0，-b），
∵∠MAN=135°，
∴cos＜

AM

，

AN

＞=

-b2

4a2+b2 •b

=-

2

2

，
解得b=2a，∴c=

a2+b2

=

5

a，
∴e=

c

a

=

5

．
故答案為：

5

．

點評：本題考查雙曲線的離心率的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運用．