Question

已知直線l：4x-2y+5=0與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，矩陣M=

3 a b -1

所對(duì)應(yīng)的變換為T_M（a，b∈R）．
（1）求點(diǎn)A，B在T_M作用下所得到的點(diǎn)A'，B'的坐標(biāo)；
（2）若變換T_M把直線l變換為自身，求M．

Answer 1

分析：（1）先求得A（0，

5

2

），B（-

5

4

，0），再設(shè)A′（m，n ），B′（m′，n′）根據(jù)矩陣的變換得

m n

=

3 a b -1

0 5 2

 =

5a 2 - 5 2

，

m′ n′

=

3 a b -1

- 5 4 0

 =

- 15 4 - 5b 4

從而求得點(diǎn)A'，B'的坐標(biāo)；
（2）首先分析題目已知 M=[

3 a b -1

]所對(duì)應(yīng)的變換T_M把直線l變換為自身，故可根據(jù)變換的性質(zhì)列出一組方程式求解出a，b即可．

解答：解：（1）A（0，

5

2

），B（-

5

4

，0），設(shè)A′（m，n ），B′（m′，n′）
則

m n

=

3 a b -1

0 5 2

 =

5a 2 - 5 2

m′ n′

=

3 a b -1

- 5 4 0

 =

- 15 4 - 5b 4

∴A′（

5a

2

，-

5

2

），B′（-

15

4

，-

5b

4

）．
（2）在直線l上任取一點(diǎn)P（x，y），設(shè)點(diǎn)P在T_M的變換下變?yōu)辄c(diǎn)P′（x′，y′），
則[

3 a b -1

][

x

y

]=[

x′

y′

]，

x′=3x+ay y′=bx-y

，所以點(diǎn)P′（3x+ay，bx-y），
∵點(diǎn)P′在直線l上，∴4（3x+ay）-2（bx-y）+5=0，即（12-2b）x+（4a+2）y+5=0，
∵方程（12-2b）x+（4a+2）y+5=0即為直線l的方程4x-2y+5=0，
∴

12-2b=4 4a+2=-2

，解得

a=-1 b=4

．
∴M=

3 -1 4 -1

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查矩陣變換的問題，其中涉及到矩陣的求法，題中是用一般方法求解，也可根據(jù)取特殊值法求解，具體題目具體分析找到最簡便的方法．