{an},{bn}都是各項為正數(shù)的數(shù)列，對任意的自然數(shù)n，都有an、bn2、an+1成等差數(shù)列，bn2、an+1、bn+12成等比數(shù)列.

(1)試問{bn}是否是等差數(shù)列？為什么？

(2)求證：對任意的自然數(shù)p,q(p＞q),bp－q2+bp+q2≥2bp2成立；

(3)如果a1=1,b1=,Sn=，求.

答案：
解析：

是等差數(shù)列；；2

依題意2bn2=an+an+1，　　　　　　　　　　　�、�

an+12=bn2·bn+12.　　　　　　　　　　　　　　②

(1)∵an＞0，bn＞0，∴由②式得an+1=bn·bn+1，從而n≥2時，an=bn－1·bn,代入①2bn2=　　　bn－1bn+bnbn+1,

∴2bn=bn－1+bn+1(n≥2),

∴{bn}是等差數(shù)列.

(2)因為{bn}是等差數(shù)列，∴bp－q+bp+q=2bp.

∴bp－q2+bp+q2≥.

(3)由a1=1,b1=及①②兩式易得a2=3,b2=，

∴{bn}中公差d=，

∴bn=b1+(n－1)d

=(n+1),

∴an+1=(n+1)(n+2).　　　　　　　　　　　�、�

又a1=1也適合③,∴an=(n∈N),

∴,

∴Sn=2［1－］

=2(1－),

∴=2.


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（3）求證：      （n≥2，n∈N+）

 

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