設(shè)f(x)=x2+bx+c(b、c∈R).
(1)若f(x)在[-2,2]上不單調(diào),求b的取值范圍;
(2)若f(x)≥|x|對一切x∈R恒成立,求證:b2+1≤4c;
(3)若對一切x∈R,有數(shù)學(xué)公式,且數(shù)學(xué)公式的最大值為1,求b、c滿足的條件.

解:(1)由題意,
∴-4<b<4;
(2)須x2+bx+c≥x與x2+bx+c≥-x同時成立,即,∴b2+1≤4c;
(3)因為,依題意,對一切滿足|x|≥2的實數(shù)x,有f(x)≥0.
①當(dāng)f(x)=0有實根時,f(x)=0的實根在區(qū)間[-2,2]內(nèi),設(shè)f(x)=x2+bx+c,所以,
,又,
于是,的最大值為f(3)=1,即9+3b+c=1,從而c=-3b-8.
,即,解得b=-4,c=4.
②當(dāng)f(x)=0無實根時,△=b2-4c<0,由二次函數(shù)性質(zhì)知,
f(x)=x2+bx+c在(2,3]上的最大值只能在區(qū)間的端點處取得,
所以,當(dāng)f(2)>f(3)時,無最大值.
于是,存在最大值的充要條件是f(2)≤f(3),
即4+2b+c≤9+3b+c,所以,b≥-5.又的最大值為f(3)=1,
即9+3b+c=1,從而c=-3b-8.由△=b2-4c<0,得b2+12b+32<0,即-8<b<-4.
所以b、c滿足的條件為3b+c+8=0且-5≤b<-4.
綜上:3b+c+8=0且-5≤b≤-4.
分析:(1)由函數(shù)f(x)在[-2,2]上不單調(diào),可得二次函數(shù)的對稱軸在此區(qū)間,建立不等關(guān)系,即可求得b的范圍;
(2)欲使函數(shù)f(x)≥|x|對一切x∈R恒成立,只需x2+bx+c≥x與x2+bx+c≥-x同時成立即可;
(3)欲對一切x∈R,有,可轉(zhuǎn)化成對一切滿足|x|≥2的實數(shù)x,有f(x)≥0,求出的值域,再研究函數(shù)f(x)在其值域范圍內(nèi)的單調(diào)性,求出最大值,建立等量關(guān)系,求出b,c滿足的條件.
點評:本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性,以及函數(shù)恒成立問題和函數(shù)最值與幾何意義,屬于中檔題.
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8、設(shè)f(x)和g(x)是定義在同一區(qū)間[a,b]上的兩個函數(shù),若對任意的x∈[a,b],都有|f(x)-g(x)|≤1,則稱f(x)和g(x)在[a,b]上是“密切函數(shù)”,[a,b]稱為“密切區(qū)間”,設(shè)f(x)=x2-3x+4與g(x)=2x-3在[a,b]上是“密切函數(shù)”,則它的“密切區(qū)間”可以是( 。

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(2013•松江區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=
1,x>0
0,x=0
-1,x<0
,設(shè)F(x)=x2•f(x),則F(x)是( 。

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設(shè)f(x)=|x2-
1
2
|,若0<a<b,且f(a)=f(b),則ab的取值范圍是( 。
A、(0,
1
2
B、(0,
1
2
]
C、(0,2)
D、(0,2]

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設(shè)f(x)=x2-bx+c對一切x∈R恒有f(1+x)=f(1-x)成立,f(0)=3,則當(dāng)x<0時f(bx)與f(cx)的大小關(guān)系是(  )

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