Question

已知函數(shù)f(x)＝x³＋ax²＋bx.
(1)若a＝2b，試問(wèn)函數(shù)f(x)能否在x＝－1處取到極值？若有可能，求出實(shí)數(shù)a，b的值；否則說(shuō)明理由．
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1,2)，(2,3)內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn)，試求w＝a－4b的取值范圍．

Answer 1

(1) 不能，理由見(jiàn)解析      (2)  (－29,10)

解：(1)由題意f′(x)＝x²＋ax＋b，
∵a＝2b，∴f′(x)＝x²＋2bx＋b.
若f(x)在x＝－1處取極值，
則f′(－1)＝1－2b＋b＝0，即b＝1，
此時(shí)f′(x)＝x²＋2x＋1＝(x＋1)²≥0，
函數(shù)f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，這與該函數(shù)能在x＝－1處取極值矛盾，
故該函數(shù)不能在x＝－1處取得極值．
(2)∵函數(shù)f(x)＝x³＋ax²＋bx在區(qū)間(－1,2)，(2,3)內(nèi)分別有一個(gè)極值點(diǎn)，
∴f′(x)＝x²＋ax＋b＝0在(－1,2)，(2,3)內(nèi)分別有一個(gè)實(shí)根，
∴⇒
⇒
畫出不等式表示的平面區(qū)域，如圖所示，

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)w＝a－4b過(guò)N(－5,6)時(shí)，
對(duì)應(yīng)的w＝－29；
當(dāng)目標(biāo)函數(shù)w＝a－4b過(guò)M(－2，－3)時(shí)，
對(duì)應(yīng)的w＝10.
故w＝a－4b的取值范圍為(－29,10)．