Question

已知函數f(x)=m-

2

5x+1

（1）用定義證明f（x）在R上單調遞增；
（2）若f（x）是R上的奇函數，求m的值；
（3）若f（x）的值域為D，且D⊆[-3，1]，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設 x₁＜x₂且x₁，x₂∈R，利用作差證明f（x₁）＜f（x₂）即可；
（2）由奇函數的定義可得f（x）+f（-x）=0恒成立，由此可求得m值；
（3）先根據反比例函數的單調性求出值域D，然后由D⊆[-3，1]可得關于m的不等式組，解出即可；

解答：（1）解：設 x₁＜x₂且x₁，x₂∈R，
則f(x1)-f(x2)=m-

2

5x1+1

-(m-

2

5x2+1

)=

2(5x1-5x2)

(5x1+1)(5x2+1)

，
∵x1＜x2∴5x1+1＞0，5x2+1＞0，5x1-5x2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上單調遞增；
（2）∵f（x）是R上的奇函數，
∴f(x)+f(-x)=m-

2

5x+1

+m-

2

5-x+1

=0，
即2m-(

2

5x+1

+

2×5x

5x+1

)=0⇒2m-2=0，
解得m=1；
（3）由5x＞0⇒0＜

2

5x+1

＜2⇒m-2＜m-

2

5x+1

＜m，
∴D=（m-2，m），
∵D⊆[-3，1]，
∴

m-2≥-3 m≤1

⇒-1≤m≤1，
∴m的取值范圍是[-1，1]．

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性的應用及單調性的證明，屬基礎題，定義是解決相關問題的基本方法，要熟練掌握．