Question

（本小題滿分12分）

如圖，△ABC內接于圓O,AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，DC⊥平面ABC ,AB=2，已知AE與平面ABC所成的角為θ,且tanθ=。

（Ⅰ）證明：平面ACD⊥平面ADE；

（Ⅱ）記AC=x，V(x)表示三棱錐A－CBE的體積，求V(x)的表達式；

（Ⅲ）當V(x)取得最大值時，求二面角D－AB－C的大小。

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵四邊形DCBE為平行四邊形     ∴CD∥BE，BC∥DE

∵ DC⊥平面ABC ,BCÌ平面ABC      ∴DC⊥BC．

∵AB是圓O的直徑  ∴BC⊥AC且DC∩AC=C   ∴BC⊥平面ADC． 

∵DE//BC   ∴DE⊥平面ADC

又∵DEÌ平面ADE   ∴平面ACD⊥平面  ………………3分

（Ⅱ）∵ DC平面ABC    ∴平面ABC

∴為AE與平面ABC所成的角，即＝

在Rｔ△ABE中，由,得

在Rｔ△ABC中 ∵（）

∴

∴（）－－－7分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知

要取得最大值，當且僅當取得最大值，

∵當且僅當，即時，“＝”成立，

∴當取得最大值時,這時△ACB為等腰直角三角形－－9分

連結CO，DO

∵AC=BC,DC=DC

∴≌   ∴AD=DB  

又∵O為AB的中點  ∴

∴為二面角D－AB－C的平面角

在中    ∵,

∴,  ∴=

即當取得最大值時，二面角D－AB－C為60°．－－－－－－12分