Question

函數(shù)的定義域為D，若滿足：①f（x）在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在[a，b]上的值域為[

a

2

，

b

2

]，那么就稱函數(shù)y=f（x）為“成功函數(shù)”，若函數(shù)f(x)=logc{cx+t)(c＞0，c≠1)是“成功函數(shù)”，則t的取值范圍為（　�。�

• A．（0，+∞）
• B．（-∞，0）
• C．(

  1

  4

  ，+∞)
• D．(0，

  1

  4

  )

Answer 1

分析：由題意可知f（x）在D內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，才為“成功函數(shù)”，從而可構(gòu)造函數(shù)f(x)=

1

2

x，轉(zhuǎn)化為求loga(ax+k)=

1

2

x有兩異正根，k的范圍可求．

解答：解：因為函數(shù)f（x）=logc(cx+t)，（c＞0，c≠1）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，則若函數(shù)y=f（x）為“成功函數(shù)”，
且 f（x）在[a，b]上的值域為 [

a

2

，

b

2

]，
∴

f(a)= a 2 f(b)= b 2

，即 

logc(cm+t)= 1 2 a logc(cn+t)= 1 2 b

，

故 方程f(x)=

1

2

x必有兩個不同實數(shù)根，
∵logc(cx+t) = 

1

2

x等價于 cx+t  =c

x

2

，等價于  cx  -c

x

2

+ t =0，
∴方程 m²-m+t=0 有兩個不同的正數(shù)根，∴

△=1-4t＞0 t＞0 1＞0

，∴t∈(0，

1

4

)，
故選D．

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性，求函數(shù)的值域，難點在于構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)有不同二交點，利用方程解決，屬于難題．