Question

11．已知a，b為正實數(shù)，求證：$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$+8ab≥8，并求等號成立的條件．

Answer 1

分析 利用綜合法，結(jié)合基本不等式由左至右證明即可．

解答 證明：a，b為正實數(shù)，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$≥2$\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}•\frac{1}{^{2}}}$=$\frac{2}{ab}$，當且僅當a=b時等號成立．
又$\frac{2}{ab}$+8ab≥2$\sqrt{\frac{2}{ab}•8ab}$=8，當且僅當ab=$\frac{1}{4}$時等號成立，
當a=b=$\frac{1}{2}$時，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$+8ab=8．
∴a，b為正實數(shù)，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$+8ab≥8．

點評 本題考查不等式的證明，基本不等式的應用，考查邏輯推理能力．