Question

已知冪函數(shù)y=t（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（2，4），函數(shù)y=f（x）的圖象可由y=t（x）的圖象向左移動(dòng)

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2

個(gè)單位并向下移動(dòng)

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4

個(gè)單位得到．
（1）求函數(shù)t（x）和f（x）的解析式；
（2）若集合A={m∈R|當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-mx具有單調(diào)性}，集合B={m∈R|當(dāng)0＜x＜

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時(shí)，不等式f(x)+3＜2x+m恒成立}，求B∩（?_RA）

Answer 1

分析：（1）設(shè)出冪函數(shù)，把點(diǎn)（2，4）代入冪函數(shù)解析式后求冪指數(shù)，則t（x）可求，然后利用圖象的平移變化可得f（x）的解析式；
（2）根據(jù)當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-mx具有單調(diào)性，借助于二次函數(shù)的對(duì)稱軸的范圍求出m的取值集合A，再利用f（x）+3＜2x+m對(duì)x∈（0，

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）恒成立，借助于二次函數(shù)在（0，

1

2

）上的單調(diào)性求出m的取值集合B，然后直接進(jìn)行交集與補(bǔ)集的運(yùn)算．

解答：解：（1）設(shè)冪函數(shù)t（x）=x^α，由其圖象過(guò)點(diǎn)（2，4），所以，2^α=4，解得α=2．
故t（x）=x²．
把y=t（x）的圖象向左移動(dòng)

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2

個(gè)單位并向下移動(dòng)

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個(gè)單位，得f（x）=t（x+

1

2

）-

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．
所以，f（x）=(x+

1

2

)2-

9

4

=x2+x+

1

4

-

9

4

=x2+x-2；
（2）由g（x）=f（x）-mx=x²+x-2-mx=x²-（m-1）x-2，
它的對(duì)稱軸為x=

m-1

2

，
因?yàn)楹瘮?shù)g（x）在區(qū)間[-2，2]上具有單調(diào)性，所以

m-1

2

≤-2或

m-1

2

≥2．
解得：m≤-3或m≥5．故A=（-∞，-3]∪[5，+∞）．
再由f（x）+3＜2x+m對(duì)x∈（0，

1

2

）恒成立，得：x²+x-2+3＜2x+m對(duì)x∈（0，

1

2

）恒成立，
即m＞x²-x+1對(duì)x∈（0，

1

2

）恒成立．
令h（x）=x²-x+1，對(duì)稱軸為x=

1

2

，所以h（x）在（0，

1

2

）上為減函數(shù)，
所以h（x）＜h（0）=1．所以m≥1．故B=[1，+∞）．
所以C_RA=（-3，5），
則B∩（?_RA）=[1，+∞）∩（-3，5）=[1，5）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查了分類討論得數(shù)學(xué)思想，利用分離變量法求參數(shù)的范圍是解決該題的關(guān)鍵，考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，此題是中檔題．