Question

已知函數(shù)f（x）=a（x-1）²+1nx（a∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，求a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)都在不等式組所表示的區(qū)域內(nèi)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)f′（x），由題意知x₁、x₂是方程f'（x）=0的兩個(gè)不相等的實(shí)根，建立不等關(guān)系解之即可；
（II）在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，求出單調(diào)區(qū)間；
（III）由題意得對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，設(shè)則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：使g（x）_max≤0，x∈[1，+∞）成立，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合對(duì)字母a分類討，論研究函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值，即可求a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
由已知f'（x）=0兩個(gè)相異正實(shí)數(shù)根x₁，x₂，即2ax（x-1）+1=0有兩相異正根，則必有a＞0，從而解得a＞2．…（4分）
（Ⅱ），
∴，
所以，當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f'（x）＞0，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2）；
當(dāng)x＞2時(shí)，f'（x）＜0，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（2，+∞）．…（8分）
（Ⅲ）由題意得對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，
設(shè)則使g（x）_max≤0，x∈[1，+∞）成立，
求導(dǎo)得，
（1）當(dāng)a≤0時(shí)，若x＞1，則g'（x）＜0，所以g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞減，∴g（x）≤g（1）=0．
（2）當(dāng)時(shí)，，則g（x）在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
存在，有，
所以不成立．
（3）當(dāng)時(shí)，則g'（x）＞0，所以g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，
所以存在x＞1，使得g（x）＞g（1）=0，則不符合題意．
綜上所述a≤0．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值等有關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．