Question

如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為1，點(diǎn)E在B₁B上，且滿足B₁E=2EB．
（1）求證：D₁E⊥A₁C₁；
（2）在棱B₁C₁上確定一點(diǎn)F，使A、E、F、D₁四點(diǎn)共面，并求此時(shí)B₁F的長(zhǎng)；
（3）求幾何體ABED₁D的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì),棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連結(jié)B₁D₁．由已知得A₁C₁⊥B₁D₁，DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，從而DD₁⊥A₁C₁．進(jìn)而A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，由此能證明D₁E⊥A₁C₁．
（Ⅱ）連結(jié)BC₁，過(guò)E作EF∥BC₁交B₁C₁于點(diǎn)F．由AD₁∥BC₁，得AD₁∥EF．點(diǎn)F為滿足條件的點(diǎn)．由此能求出此時(shí)B₁F的長(zhǎng)．
（Ⅲ）四邊形BED₁D為直角梯形，幾何體ABED₁D為四棱錐A-BED₁D．由此能求出幾何體ABED₁D的體積．

解答： （本小題滿分13分）
（Ⅰ）證明：連結(jié)B₁D₁．因?yàn)樗倪呅蜛₁B₁C₁D₁為正方形，
所以A₁C₁⊥B₁D₁．
在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
又A₁C₁?平面A₁B₁C₁D₁，所以DD₁⊥A₁C₁．
因?yàn)镈D₁∩B₁D₁=D₁，DD₁?平面BB₁D₁D，B₁D₁?平面BB₁D₁D，
所以A₁C₁⊥平面BB₁D₁D．
又D₁E?平面BB₁D₁D，所以D₁E⊥A₁C₁．…（4分）
（Ⅱ）解：連結(jié)BC₁，過(guò)E作EF∥BC₁交B₁C₁于點(diǎn)F．
因?yàn)锳D₁∥BC₁，所以AD₁∥EF．
所以A、E、F、D₁四點(diǎn)共面．即點(diǎn)F為滿足條件的點(diǎn)．
又因?yàn)锽₁E=2EB，所以B₁F=2FC₁，
所以B1F=

2

3

B1C1=

4

3

．…（8分）
（Ⅲ）解：四邊形BED₁D為直角梯形，
幾何體ABED₁D為四棱錐A-BED₁D．
因?yàn)?span id="coya26u" class="MathJye">SBED1D=

(BE+DD1)•BD

2

=

4 2

3

，
點(diǎn)A到平面BED₁D的距離h=

1

2

AC=

2

，
所以幾何體ABED₁D的體積為：
VA-BED1D=

1

3

SBED1Dh=

8

9

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查線段長(zhǎng)的求法，考查幾何體的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．