已知奇函數(shù)f（x）的定義域為（－∞，0）（0，＋∞），且f（x）在（0，＋∞）上是增函數(shù)，f（1）＝0．函數(shù)g（x）＝＋mx＋1－2m，x∈[0，1]．

　�。�Ⅰ）證明函數(shù)f（x）在（－∞，0）上是增函數(shù)；

　　（Ⅱ）解關(guān)于x的不等式f（x）＜0；

　　（Ⅲ）當(dāng)x∈[0，1]時，求使得g（x）＜0且f [g（x）]＜0恒成立的m的取值范圍．

 

答案：
解析：

（Ⅰ）證明：任取，且，則，且，

　　         f（x）是奇函數(shù)，∴  ，  ①

　　       又f（x）在（0，＋∞）上是增函數(shù)  ∴  ＞  ②

　　       由①，②得＞，即＜

 故函數(shù)f（x）在（－∞，0）上是增函數(shù)

（Ⅱ）奇函數(shù)f（x）滿足f（1）＝0，且f（x）在（0，＋∞）上是增函數(shù)，

　　  ∴  若x＞0，f（x）＜0，得f（x）＜f（1），因而0＜x＜1 

同理可求在x∈（－∞，0）上，若f（x）＜0，則x＜－1．

　　  綜上，使f（x）＜0的x的取值范圍是：（－∞，－1）（0，1）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f〔g（x）〕＜0，即g（x）＜－1或0＜g（x）＜1

　　  ∴  依題得或得g（x）＜－1，

　　  因此，所求m范圍就是關(guān)于x的不等式g（x）＜－1，

對任意x∈〔0，1〕恒成立時的m的取值范圍．由g（x）＜－1，得  ，

　　即＝－〔〕＋4

　　∵   

∴  －〔〕＋4≤

　　當(dāng)且僅當(dāng)2－x＝，即時，等號成立．

    從而得出．

 


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知奇函數(shù)f（x）的定義域是R，且f（x）=f（1-x），當(dāng)0≤x≤
12
時，f（x）=x-x2．
（1）求證：f（x）是周期函數(shù)；
（2）求f（x）在區(qū)間[1，2]上的解析式；
（3）求方程f（x）=log10000x的根的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知奇函數(shù)f（-x）的定義域為[-1，0）∪（0，1]，其圖象是兩條直線的一部分（如圖所示），則不等式f（x）-f（-x）＞-1的解集為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知奇函數(shù)f（x）的定義域為[-1，1]，當(dāng)x∈[-1，0）時，f（x）=-(
1
2
)x．
（1）求函數(shù)f（x）在[0，1]上的值域；
（2）若x∈（0，1]，
1
4
f2（x）-
λ
2
f（x）+1的最小值為-2，求實數(shù)λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f（x）=x2-2x-3，求f（x）的解析式．
（2）已知奇函數(shù)f（x）的定義域為[-3，3]，且在區(qū)間[-3，0]內(nèi)遞增，求滿足f（2m-1）+f（m2-2）＜0的實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）設(shè)a＞0，f（x）=
ex
a
+
a
ex
是R上的偶函數(shù)，求實數(shù)a的值；
（2）已知奇函數(shù)f（x）的定義域為[-2，2]，且在區(qū)間[-2，0]內(nèi)遞減，求滿足f（1-m）+f（1-m2）＜0的實數(shù)m的取值范圍．

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