Question

函數(shù)f（x）=log_a（x-3a）（a＞0，且a≠1），當P（x，y）是函數(shù)y=f（x）圖象上的點時，Q（x-a，-y）是函數(shù)y=g（x）圖象上的點．?
（Ⅰ）求函數(shù)y=g（x）的解析式；?
（Ⅱ）當x∈[a+3，a+4]時，恒有f（x）-g（x）≤1，試確定a的取值范圍．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）設(shè)P（x₀，y₀）是y=f（x）圖象上點，Q（x，y），由此能求出函數(shù)y=g（x）的解析式．
（Ⅱ）令∅（x）=f（x）-g（x）=log_a[（x-2a）（x-3a）]=loga[(x-

5a

2

)2-

a2

4

]，由

x-2a＞0 x-3a＞0

，得x＞3a，所以函數(shù)∅（x）=（x-

5a

2

）²-

a2

4

在區(qū)間[a+3，a+4]上單調(diào)遞增，由此能求出a的取值范圍為（0，1）．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)P（x₀，y₀）是y=f（x）圖象上點，Q（x，y），則

x=x0-a y=-y0

，
∴

x0=x+a y0=-y

，∴-y=log_a（x+a-3a），∴y=log_a

1

x-2a

 （x＞2a）．（5分）
（Ⅱ）令∅（x）=f（x）-g（x）=log_a[（x-2a）（x-3a）]=loga[(x-

5a

2

)2-

a2

4

]，
由

x-2a＞0 x-3a＞0

，得x＞3a，由題意知a+3＞3a，故a＜

3

2

，
從而（a+3）-

5a

2

=

3

2

(a-2)＞0，
故函數(shù)∅（x）=（x-

5a

2

）²-

a2

4

在區(qū)間[a+3，a+4]上單調(diào)遞增，（8分）
①若0＜a＜1，則∅（x）在區(qū)間[a+3，a+4]是單調(diào)遞減，
∴∅（x）在[a+3，a+4]上的最大值為∅（a+3）=loga(2a2-9a+9)，
在區(qū)間[a+3，a+4]上不等式f9x）≤1恒成立，
等價于不等式loga(2a2-9a+9)≤1成立，
從而2a²-9a+9≥a，解得a≥

5+ 7

2

或a≤

5- 7

2

，
結(jié)合0＜a＜1．得0＜a，1．
（2）若1＜a＜

3

2

，則∅（x）在區(qū)間[a+3，a+4]上單調(diào)遞增，
∴∅（a+3，a+4]上的最大值為∅（a+4）=loga(2a2-12a+16)，
在[a+3，a+4]上不等式∅（x）≤1恒成立．
等價于不等式loga(2a2-12a+16)≤1成立，
從而2a²-12a+16≤a，即2a²-13a+16≤0，解得

13- 41

4

＜a≤

13+ 41

4

．
∵

13- 41

4

＞

3

2

，∴不符合．（14分）
綜上可知：a的取值范圍為（0，1）．（15分）

點評：本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．