Question

已知函數(shù)f(x)=

2x-1

2x+1

，（1）判斷f（x）的奇偶性；（2）判斷并用定義證明f（x）在（-∞，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f(x)=

2x-1

2x+1

的解析式，易判斷其定義域?yàn)镽，進(jìn)而判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可得答案．
（2）任取R上兩個(gè)實(shí)數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，作差判斷f（x₁），f（x₂）的大小，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義得到答案．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=

2x-1

2x+1

的定義域?yàn)镽，
且f(-x)=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-f（x）
∴函數(shù)f(x)=

2x-1

2x+1

為奇函數(shù)
（2）任�。�-∞，+∞）上兩個(gè)實(shí)數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則x₁-x₂＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
則f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)•(2x2+1)

＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)；

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，熟練掌握函數(shù)奇偶性的證明步驟及單調(diào)性證明的方法和步驟是解答本題的關(guān)鍵．